交换代数初步
约定本文中出现的所有环都是含幺交换环。给定环
Noether环/模与Artin环/模
Noether环与Noether模是交换代数中的重要概念,同时也是代数几何中的关键对象,在进行研究时要求被分析的环或模具有Noether性通常被认为是合理的,因为一般而言让人感兴趣的环或模都是Noether的。
Why are noetherian rings such natural objects in algebraic geometry?
The best answer I’ve ever been able to come up with is that the class of noetherian rings contains the classical number ringsand and is closed under the formation of polynomial rings, localization, completion, and quotients. So it contains many of the rings you will come across in ordinary situations (whatever that means). It also has the advantage that the definition is tractable enough that if someone hands you an explicit ring, it’s not out of the question to try to work out from scratch whether it’s noetherian. If you’re the kind of person who likes abstract fields, then they’re also included.
On the other hand, I don’t think of it as a truly fundamental concept, like say finite presentation. But there is no denying its convenience. If you need to avoid some infinitary phenomena but you still want a broad class of rings, it’s often hard to beat noetherianness. It’s also quite good in situations where you’re too lazy to work out exactly what finiteness conditions you care about.
相比Noether环和Noether模,具有相似定义的Artin环和Artin模却更加稀少,事实上可以证明所有的Artin环都是Noether环,而Artin模与Noether模互不包含,这使得环和模的Noether性要比Artin性更值得关注。
Noether环
定义 如果交换环
根据上述定义,所有的域和PID都是Noether环。
下面给出Noether环的重要等价刻画。
- (ACC条件)
满足升链条件,即 的任意理想升链 都稳定,换言之,存在整数 使得 对任意 成立。 - (极大性条件)
中任意由理想构成的非空集合族 内都有极大元,即存在 使得对于任意的 和 都有 。 - (原始定义)
的任意理想都是有限生成的。
Hint: 验证 (1)
(1)
(2)
(3)
根据上述刻画,有以下几个推论:
- 设
是Noether环, 是 的真理想,则存在极大理想 。特别地,Noether环 存在极大理想。 - 设
是Noether环, 是 的真理想,则商环 是Noether环。
其中第一条推论的证明只需对由
事实上,当
Noether模
- (ACC条件)
满足升链条件,即 的任意子模升链 都稳定,换言之,存在整数 使得 对任意 成立。 - (极大性条件)
中任意由子模构成的非空集合族 内都有极大元,即存在 使得对于任意的 和 都有 。 - (原始定义)
的任意子模都是有限生成模。
值得注意的是,环
命题 Noether模具有如下性质:
- Noether模的子模和商模均为Noether模。
- 如果
和 是Noether模,且
是短正合列,则是Noether模。 - Noether模的有限直和仍然是Noether模。
- 如果
都是Noether模,则 也是Noether模。 - 设
是Noether环, 是有限生成 -模,则 是Noether模。
有限生成
Artin环与Artin模
- 如果
满足降链条件(DCC),即 的任意理想降链 都稳定,换言之,存在整数 使得 对任意 成立,则称 是Artin环。 - 如果
满足降链条件(DCC),即 的任意子模降链 都稳定,换言之,存在整数 使得 对任意 成立,则称 是Artin模。
- (DCC条件)
中任意子模降链均稳定; - (极小性条件)
内任意非空子模族 内都有极小元,即存在 使得对于任意的 和 都有 。
命题 设
- 环
中只有有限多个极大理想,即 的极大谱 是有限集合。 - 商环
同构于
是有限多个域的直积。 - 环
中的素理想都是极大理想,理想 是 中所有幂零元构成的理想 ,且存在正整数 使得 。 - 有如下环同构
其中的都是Artin环,且有唯一极大理想 。 - Artin环都是Noether环。
。
局部化
局部化是抽象代数中由整环构造分式域这一想法在一般的环和模上的推广,通过局部化可以引入乘法逆元。
Why do the Localization of a Ring?
Localization is a technique which allows one to concentrate attention to what is happening near a prime, for example. When you localize at a prime, you have simplified abruptly the behavior of your ring outside that prime but you have more or less kept everything inside it intact.
For lots of questions, this significantly simplifies things.
Indeed, there are very general procedures, in lots of contexts, which go by the name of localization, and their purpose is usually the same: if you are lucky, the problems you are interested in can be solved locally and then the “local solutions” can be glued together to obtain a solution to your original problem. Moreover, an immense deal of effort has been done in order to extent the meaning of “local” so as to be able to apply this strategy in more contexts: I have always loved the way the proofs of some huge theorems of algebraic geometry consist more or less in setting up an elaborate technology in order to be able to say the magical “It is enough to prove this locally”, and then, thanks to the fact that we worked so much in that technology, immediately conclude the proof with a “where it is obvious”.
Of course, all sort of bad things can happen. For example, sometimes the “local solutions” cannot be glued together into a “global solution”, &c. (Incidentally, when this happens, so that you can do something locally but not glue the result, you end up with a cohomology theory which, more or less, is the art of dealing with that problem)
环的局部化
称交换环
- 含幺:
; - 乘法封闭:
蕴含 ;
为
则称
不难验证这样定义的加法和乘法的良定性,并且
现在考虑如下典范环同态:
可以验证
- 当
是整环时, 是单同态,此时 也是整环; - 如果
,则 。
注:当
时,可以验证任意 都有 ,所以这种情况下 ,此时 平凡,因此一般在做局部化时选取的乘性集 都不包含 。常见的乘性集包括: , , ( 是 的素理想, )。
事实上,只需检验是否与 相同即可说明, 当且仅当 。
现在给出环的局部化的泛性质:给定环同态
事实上,整环
模的局部化
相比于环,模具有更多的可供利用的性质,比如模范畴作为Abel范畴,其上可以谈论正合列和函子的整合性,在此基础上可以得到众多强大的结论,而环范畴并不是Abel范畴,所以在这一点上天然地不如模范畴性质更好,因此模的局部化是一个更有价值的话题。
给定交换环
可以验证
这两个运算的良定性可以通过等价关系的定义直接验证,并且
因此
现在给出模的局部化的泛性质:设
关于模的局部化的一个重要结论是它与基变换之间的联系:
命题 存在
要证明以上结论只需说明
是一个双线性映射,根据张量积的泛性质可知存在唯一的
直接验证可知
上述同构的“自然”之处在于它揭示的是范畴间函子的性质:函子
是一个正合函子。因为
同时基变换也诱导了张量积的基变换:
事实上,如下图表交换,从而如果
又因为下述命题成立:
命题 设
是一个正合函子。
(这一命题的证明几乎是平凡的,只需直接验证正合列
诱导的
也是一个正合列。)
基于以上命题,给定正合列
考虑如下图表,由函子
扩张与收缩
对于环
现在
从左到右的映射记作
- 任给
中的理想 , (先扩张再收缩得到的理想包含原理想) - 任给
中的理想 , ( 中的理想都是扩张理想)
上述事实说明
命题 设
因此与一般的情况类似,尽管
最后不加证明地给出一些关于扩张和收缩的性质:设
- 如果
是 -模 的子模,那么有 ; ; ;
; 。
局部环
令
根据上一个命题可知
定义 若交换环
-
中有唯一的极大理想 ; -
是 的极大理想; - 存在极大理想
使得 。
Proof. (1)
(2)
(3)
-
; -
对于 的任意素理想 成立; -
对于 的任意极大理想 成立。
Proof. (1)
是
命题 设
Proof. 由于
于是
Example. 最后给出几个例子:
- 任给
, 是Artin局部环,其中的极大理想为 ; - 设
是域, 是形式幂级数环,即
则 是局部环,且唯一极大理想为 ,对应 的元素构成的子环。 - (局部与整体)设
是两个 -模, 是模同态,则下列命题等价: 是单射;- 对于
的任意素理想 , 是单射; - 对于
的任意极大理想 , 是单射。
整性
环的整扩张类似于域的代数扩张:
定义 设
- 元素
称为在 上整是指存在首一多项式 使得 ; - 如果
中的每个元素都在 上整,则称 是在 上整的,称 是 的整扩张; - 称
中所有在 中整的元素构成的集合为 在 内的整闭包; - 如果
在 中的整闭包等于 ,则称 在 中整闭; - 特别地,称整环
在 内的整闭包为 的正规化。如果 在 内整闭,即 的正规化是它自身,则称 是整闭的。
-
在 上整; -
是有限生成 -模; - 存在作为
-模有限生成的子环 使得 且 。
其中的
Proof. (1)
进而可以看出当
(2)
(3)
此即
对于任意的
因此
又因为
推论 设
- 如果
都在 上整,则 和 也在 上整; 在 中的整闭包是 中包含 的子环;- 如果
是子环, 在 上整, 在 上整,则 在 上整,即整性具有传递性。
Proof. (1) 根据上一个定理(1到2),当
(2) 由(1)可知
(3) 设
于是不难看出
- 如果
是整环,则 是域当且仅当 是域; - (整扩张下素理想的对应关系) 设
,则存在 使得 。进一步地, 当且仅当 ; - (Going-up) 如果关于
中的素理想升链 存在 中的一条较短的素理想升链 其中 ,满足 ,则可以完备化此升链,即存在 的素理想 使得 是 中的素理想升链,并且满足 。
Proof. (1) 如果
因为
这说明
反过来,如果
因此
所以
(2) 若
可以由
接下来证明第二个断言。注意到
(3) 只需证明当
注意到
对于任意的
由于
这与
于是根据上面的第二条结论可知存在
Remark. 定理的第一条结论有如下推论:如果
上述定理的第二条建立了如下的一一对应关系:
关于第三条结论,即上升定理,有与之对应的下降定理:
定义 设
- 称
作为线性映射的迹 为 关于 的迹 ; - 称
的行列式 为 关于 的行列式 ; - 称对称
-双线性映射
为 关于 的迹形式。
使用以上工具可以证明:如果
- 设
在 上的最小多项式为 ,则 - 迹形式
是非退化二次型。
进而可以证明以下定理:
关于整闭,有最后一个重要的刻画:设
整闭;- 对于任意的
, 整闭; - 对于任意的
, 整闭。
代数整数
定义 设
- 如果
在有理整数环 上整,则称 是 上的代数整数 (algebraic integer); - 称
在 上的整闭包,即 中代数整数的全体组成的集合,为域 的代数整数环 (ring of algebraic integers),记作 。
命题
命题 设
命题 以下结论成立:
- 设
是代数整数,则 的共轭元也是代数整数; - 设
是 个 次单位根。如果 是代数整数,则 或者 。
根式理想与准素理想
根式理想
任给环
可以验证
另外,直接验证可知
定义 称
根据根理想的定义,所有素理想,进而所有极大理想,都是根理想。事实上,任意理想的根理想都是包含该理想的素理想的交:
Proof. 由于
下面我们说明上式两端的相互包含关系。
一方面,如果
是
因此
从而
定义 环
也记做
当
特别地,
命题 如果
最后给出一个关于Jacobson根的著名结论:中山引理。
让我们先承认上述引理的正确性,则作为一个推论可知,如果
准素理想
定义 给定环
准素理想满足以下性质:
- 素理想都是准素理想;
是准素理想当且仅当 中的零因子都是幂零元;- 如果
是准素理想,则 是素理想,并且 是包含 的最小素理想; - 如果
的根式理想 是极大理想,则 是准素理想; - 如果
是极大理想, ,则 是准素理想且 。
定义 给出以下一系列定义:
- 如果
是准素理想,称 是 的相伴素理想,同时称 是 -准素理想。 - 如果
中的理想 是准素理想的交,则称 有准素分解,亦称
为 的准素分解,其中 是 的准素理想。 - 当理想
的准素分解 满足以下条件时,称该分解为极小准素分解:- 对于所有的
都有 ; - 任意
都有 。
- 对于所有的
- 如果理想
不是不同理想的交,即若 ,那么 或 ,则称 是不可约理想。
Example. 素理想都是不可约理想。
命题 设
- 不可约理想都是准素理想;
中的真理想都是不可约理想的有限交。
引理 若
命题 设
- 素理想
当且仅当存在 , ; 。- 如果
是Noether环,则 包含有限多个素理想的乘积。
仿射代数几何初步
定义 设
根据以上定义,
如果代数
现在考虑
最重要的一类
域上的代数
首先,考虑
并且上述同态保持域
由Hilbert基定理可知多项式环
仿射空间
定义 定义域
当不会引起混淆时,简记为
即
现在我们引入几何对象:仿射代数集,它实际上是
定义 设
如果
考虑
仿射代数集具有以下性质:
- 反包含:如果
,则 ; - 有限生成:记
为 在 中生成的理想,则 有限生成,并且 - 任意多个仿射代数集的交集仍然是仿射代数集:如果
是 的某一子集族,则 - 有限多个仿射代数集的并集仍然是仿射代数集:如果
,则 , 都是仿射代数集。
其中第二条结论依赖于
根据性质二,
与之对应,现在考虑另一个映射,它将仿射代数集映射到理想:
其中
可以验证
零化算子
是根理想,即 ;- 反包含:如果
,则 ; - 有限交:
; 。另外,如果 是无限域,则 。
上述两个算子
- 如果
,则 ; - 如果
,则 ; - 当
是一个仿射代数集时, ; - 当
是代数封闭域而 时, (Hibert零点定理)。
仿射代数集
接下来分析仿射代数集上的结构。
定义 设
当
注意到如下事实:
- 任给
,可以将它限制在某个仿射代数集 上得到 。不难看出 当且仅当 ,因此可以定义 上的一个等价关系: 当且仅当 ,从而 是 在这一等价关系下的商环,因此对于任意的 ,任取 是 在 中的代表元,则 可由 在 上的限制给出: 是有限生成交换 -代数,从而根据之前的分析可知是一个Noether环。( 是 元多项式环自然关于 有限生成)
定义 设
对于任意的
需要注意:给定态射
下面讨论仿射代数集之间的态射与坐标环之间的
-
对于任意的
-代数同态 ,存在唯一态射 使得 ; -
; -
是同构当且仅当 是同构。
一方面,如果给定态射
可以验证上述映射是一个良定的
另一方面,如果
因为
于是如果
因此可以定义
这样的
Hilbert零点定理
Hilbert零点定理的证明依赖于以下Noether正规化引理:
Noether正规化引理 设
这一引理的证明可以通过关于
在正式证明Hilbert零点定理之前,往往会先证明一个弱形式的Hilbert零点定理:
Hilbert零点定理(弱形式) 设
上述结论证明过程中需要说明
仿射代数集上的拓扑
仿射代数集上的拓扑结构可以通过Zariski拓扑给出,这里需要使用闭集形式的拓扑结构,闭集形式的拓扑公理如下:集合
; 关于任意交封闭; 关于有限并封闭。
回忆之前的讨论可以发现,仿射代数集天然满足以上三条公理,因此可以充当仿射空间
定义 仿射空间
Example. 当
定义 设
不可约分解 设
不可约当且仅当 是素理想。换言之, 是仿射簇当且仅当其坐标环 是整环。 可唯一表示成如下形式:
其中 都不可约,且 对任意的 都成立。
Remark. 理想的准素分解(代数)对应于代数集的不可约分解(几何)。
交换环素谱上的拓扑
之所以要研究素谱上的拓扑而非极大谱,是因为尽管在配备通常的Zariski拓扑后
定义 设
因此
定义 设
也即
设
与在仿射空间上的情形类似,
命题 映射
- 给定
,有 和 ; - 对于任意理想
,有 ; - 一般地,对于一列理想
,有
由以上命题可知
满足闭集公理,因此可以定义
根据这一定义,单点集
即
与之前类似,可以定义
命题 映射
上述对应将
Gröbner基
之前已经看到,如果
- 如何判断某多项式
是否属于某个 ? - 如何判断某多项式
是否属于 ,其中 ? - 怎样判断
的两个理想是否相同?
域上多元多项式环的带余除法
首先来明确一些定义:
- 集合
称为偏序集是指 上存在二元关系 ,且该关系满足自反性、反对称性和传递性(称这样的 为一个偏序)。注意:偏序集中的元素不一定可以相互比较。 - 如果偏序集中的任意非空子集都有最小元,则称该偏序集是一个良序集。注意:区分“最小元”和“极小元”。良序集中的任意两元素可以相互比较。
- 如果集合
中的偏序” “是良序,并且与 中的加法相容,即
则称序关系“ ”是一个单项式序。 - 给定
中的一个单项式序。对于 ,可以将它写成如下形式
定义 是 的首项, 为 的次数。如果 ,则称 是首一多项式。 - 以下述方式定义
中的一个偏序: 当且仅当 或者 的第一个非零分量为正。称这样的偏序为 上的字典序。可以验证字典序是一个单项式序。 - 类似地,可以定义
上的另一个偏序: 当且仅当 ,或 ,或 但 。称这样的偏序为 上的次数-字典序。可以验证次数-字典序也是单项式序。
使用这些定义可以直接验证以下事实:
- 设“
”是 上的一个单项式序, ,如果 中存在某个单项式为 满足 ,那么令
则有- 当
时, 或者 ; - 当
时, 且 。
- 当
- 设“
”是 上的一个单项式序, ,则- 若
,则 , ; ,因此 ;- 若
,则 ; 。
- 若
其中第一个结论中的操作是下面将要介绍的带余除法的关键步骤,通过选取合适的
-
模 是约化的; -
对于任意 成立。
Proof. 上述带余除法的算法在下面以伪代码的形式给出:
Algorithm: Division with Remainder
Input:
Output:
Initialization: Let
While
Find *smallest*
If
End While
Return
为了说明该定理的正确性,只需证明上述算法在有限步内终止即可:给定
上述表示使用降序排列,即
因此
Gröbner基和Buchberger算法
如上一小节最后的定理所述,使用一般的
Gröbner基 设
Gröbner基的判定 集合
使用Gröbner基进行带余除法得到的余数与排列无关 设
由此我们可以回答这一节开头的第一个问题:
接下来介绍如何构造
以及
上式也可以写为
当
引理 给定
;- 对于任意的
都有 ;
则对于任意的
其中的
以上引理实际上给出了通过
使用
一个简单的观察是,如果
下一个定理是本节的核心结论。
Buchberger Algorithm
Input: Ideal
Output: Gröbner basis of
Initialization: Set
While exist
Let
Update
Add
End While
Return
Proof. 同样只需说明上述算法必将在有限步内终止。注意到当
因此在算法中,若
所以每经过一次循环就有
于是这样就得到了
最后,来回答本节开头的问题:
- 如何判断某多项式
是否属于某个 ?— 求出 的Gröbner基,考察 模Gröbner基的余数是否为0; - 如何判断某多项式
是否属于 ,其中 ?— 等价于判定 的理想 中是否包含1,于是问题转化为上一个问题。 - 怎样判断
的两个理想是否相同?— 求出两个理想的Gröbner基,记为 和 ,则这两个理想相同当且仅当
- Title: 交换代数初步
- Author: Gypsophila
- Created at : 2024-11-04 19:57:33
- Updated at : 2024-12-28 21:42:07
- Link: https://chenx.space/2024/11/04/CommutativeAlgebra/
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